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1  引言
        功角是表征同步發(fā)電機運行狀態(tài)和判別電力系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要參量^[1-4]，多年來，功角的測量得到了廣泛的重視和深入的研究。已有的測量方法從原理上主要有兩大類：一類是純電氣測量方法，即采集同步發(fā)電機的輸出電壓、電流或/和其他電氣量，進而通過理論分析和計算來獲得功角。該類方法最簡化的情況就是基于穩(wěn)態(tài)公式或相量圖的解析計算法，它在系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運行且發(fā)電機的參數(shù)比較精確時，能比較準(zhǔn)確地計算出功角，而在系統(tǒng)暫態(tài)過程中，由于參數(shù)時變性、機組鐵心飽和等的影響，方法所依賴的解析公式不能成立，導(dǎo)致較大的計算誤差。另一類方法需要借助非電量傳感器（包含光電或磁電變換）來實現(xiàn)測量。常見的作法是^[1-4]，在轉(zhuǎn)子軸上設(shè)置機械測點或測速齒輪，在轉(zhuǎn)子周圍安裝光電、電刷或電磁裝置，后者接收由前者產(chǎn)生的脈沖信號或其它與轉(zhuǎn)子位置或速度相關(guān)的量，進而通過一定的變換來實現(xiàn)功角的測量（以下簡稱脈沖法）。脈沖法往往需要對發(fā)電機本體進行不同程度的改造，工藝復(fù)雜，而且由于采用非電量傳感器，需借助于比較復(fù)雜的信號處理和誤差補償技術(shù)，以去除諸如機械加工誤差、信號傳輸延時、軸體扭振等導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)性誤差；而且針對個案提出的方法很難適用于別的發(fā)電機，導(dǎo)致實現(xiàn)代價較大。除了上述兩大類常見方法外，還有學(xué)者研究了一些很別致的測量方法，如文[5]提出的應(yīng)用多層前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的映射功能，通過仿真數(shù)據(jù)訓(xùn)練并進而用來測量發(fā)電機功角的方法，文[7]提出的通過分析機組端電壓的零序諧波分量來測量功角的方法，但這些方法的可靠性有待于在實際電力系統(tǒng)進行驗證。
        本文提出的方法，屬于純電氣測量的范疇。它在已知發(fā)電機部分參數(shù)的前提下，只需采集機組端電壓和電流，通過數(shù)字信號處理，就能估計出發(fā)電機的功角。作者將該方法集成到同步相量測量單元（PMU）中，并進而開發(fā)了“電網(wǎng)廣域動態(tài)監(jiān)測系統(tǒng)”。2003年3月在清華大學(xué)的“電力系統(tǒng)大型發(fā)電設(shè)備安全控制與仿真國家重點實驗室”完成了“電網(wǎng)廣域動態(tài)監(jiān)測系統(tǒng)”的動態(tài)模擬試驗（以下簡稱動模試驗），其中重點測試了本文提出的功角估計方法，并與脈沖法進行了對比。
2  數(shù)學(xué)模型與定義
2.1  基本關(guān)系式
        假定同步發(fā)電機為理想電機（即忽略磁飽和、磁路/繞組不對稱和磁動勢/磁通的諧波分量的影響），用d-q同步坐標(biāo)系中的派克方程模型來描述，設(shè)轉(zhuǎn)子d軸上包含勵磁（f）繞組和阻尼（D）繞組，q軸包含兩個阻尼（Q、K）繞組，忽略0軸，采用標(biāo)么值描述，則存在如下關(guān)系式^[1]

式中  D表示時域或復(fù)頻域的微分算子；上述方程及本文其余部分用到的一些典型變量的定義，除特別指出外，均參考文[6]。
        將式(4)代入式(3)，進而代入式(2)，得到

    將式(8)代入式(7)，進而代入式(6)和式(1)，得到


    對方程式(14)兩端依次作逆派克變換和正序變換，并經(jīng)整理化簡，可以得到如下方程組

U_r 、U_i 、I_r 、I_i 分別為發(fā)電機端電壓和輸出電流的正序相量的實部和虛部。
2.2  同步發(fā)電機功角的定義
        定義功角δ 為
    δ=θ-θ_ref            (19)
式中θ_ref為轉(zhuǎn)子電角度的參考值，在多機電力系統(tǒng)中，由于功角的相對值才有意義，因此 θ_ref 的選取主要是視方便而定，它可以取為某參考機組的轉(zhuǎn)子電角度或系統(tǒng)慣性中心（COI）的等值電角度，甚至是穩(wěn)態(tài)角頻率的積分。
    ，w_ref 為系統(tǒng)轉(zhuǎn)子角頻率參考值（系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)角頻率或慣性中心角頻率）；

這么定義功角δ ，使得系統(tǒng)中任意2臺機組之間的功角差反映了機組轉(zhuǎn)子間的相對位置，進而可以應(yīng)用功角來表征系統(tǒng)的運行狀態(tài)和穩(wěn)定水平。
3  估計算法
         功角估計算法包括兩個環(huán)節(jié)，即首先在一定的假設(shè)條件下利用前一節(jié)推導(dǎo)的關(guān)系式來計算發(fā)電機功角，其次針對假設(shè)條件在機組次暫態(tài)過程中存在誤差，利用搖擺方程對計算結(jié)果作進一步修正。
        第一個環(huán)節(jié)用到了如下假設(shè)條件

        （2）暫態(tài)過程中，Q 繞組電流衰減很快，故忽略式(12)中的I_Q ，從而有

    （3）△w<<w ，△w<<w_ref 。電力系統(tǒng)正常運行時對頻率有嚴(yán)格的要求，故該假設(shè)能很好成立。
         利用前一節(jié)推導(dǎo)的關(guān)系式計算發(fā)電機功角的方法為：以△T 為間隔采集發(fā)電機三相輸出電壓、電流，然后執(zhí)行以下步驟：







其中arg(^.) 表示計算矢量的相位角；至此，針對每次采樣數(shù)據(jù)得到了相應(yīng)的功角估計值。
        以上計算功角的方法是基于假設(shè)條件（1）~（3）的，而在系統(tǒng)遭受大擾動（如短路）后的歷時數(shù)十至數(shù)百毫秒的次暫態(tài)過程中，機組參數(shù)是時變的，同時鐵心可能飽和，使得前述假設(shè)條件與實際情況有差異，從而導(dǎo)致利用上述方法計算的功角存在一定的誤差，故需作進一步的修正處理。考慮發(fā)電機搖擺方程

假設(shè)在（次）暫態(tài)過程中，原動機功率變化很慢，或P_m=P_e/(1+DT_w) ，則可以得到從P_e 到△w的近似傳遞函數(shù)

進而有如下修正方法：
        （1）令由第一個環(huán)節(jié)得到功角為δ₀(t) _。
        （2）根據(jù)式(24)用數(shù)值方法計算△w 。
        （3）計算次暫態(tài)程度指數(shù)λ 。λ 是一個表明系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)遠離次暫態(tài)的程度的系數(shù)， λ→0 表示系統(tǒng)正處在次暫態(tài)過程中，λ→1 表示擾動后的（次）暫態(tài)過程基本結(jié)束。λ 的計算方法為


        上述計算方法的含義為：保存最近的時間長度約為2倍次暫態(tài)時間常數(shù)內(nèi)的端電壓有效值，以當(dāng)前端電壓有效值偏移這段時間內(nèi)的端電壓有效值的程度來近似確定當(dāng)前狀態(tài)遠離次暫態(tài)的程度。常數(shù)k₁,k₂ 的選取原則是：當(dāng)偏移值在允許的靜態(tài)誤差范圍內(nèi)（如1％）時，λ(t) 約為1；當(dāng)偏移值超出允許的動態(tài)誤差范圍（如20％）時，λ(t) 接近0。

        將上述功角測量算法集成到開發(fā)的PMU中，當(dāng)PMU安裝在發(fā)電機組出口高壓/低壓母線上時，就可以通過適當(dāng)?shù)膮?shù)配置，對電網(wǎng)中的發(fā)電機功角進行同步測量，進而為實現(xiàn)廣域電網(wǎng)的動態(tài)安全監(jiān)控提供了更有利的條件。
4  動模試驗結(jié)果
        圖1所示為動模試驗系統(tǒng)，包括2臺發(fā)電機和1個等值無窮大電源，主要的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)已在圖中標(biāo)出，在母線1、2和3處各設(shè)置1個PMU。在機組G2上安裝了脈沖法測角裝置，其基本原理是：在轉(zhuǎn)軸上設(shè)置金屬接觸電極，環(huán)繞轉(zhuǎn)軸設(shè)置固定的碳刷電極，當(dāng)電機轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時，由于兩者的接觸與脫離使得附加電路輸出一個脈沖序列，將其與無窮大母線電壓生成的脈沖信號進行對比，進而可以求出機組的電氣功角。

計算取η=0.001，T_w=5.0s,k₁=1.5, k₂=40。
        在動模試驗中，PMU對PT、CT的幅值和角度誤差進行了補償，CT正常工作范圍為額定值的0~30倍。為了測試算法的有效性，在如下兩種擾動情況下進行試驗：
        擾動1：機組G1、G2間的聯(lián)絡(luò)線L5無故障斷開后不再重合。
        擾動2：母線5處發(fā)生三相瞬時短路故障，持續(xù)時間為0.21s。
        試驗結(jié)果如圖2和圖3，虛線代表脈沖法實測的功角，實線為本文算法得到的功角曲線。
        從試驗結(jié)果來看，在系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)過程后期，兩種方法得到的結(jié)果吻合得很好，在擾動期間及其后一小段時間內(nèi)，測量結(jié)果的差別稍大（如擾動2情況，最大達到6o），但兩者的動態(tài)變化趨勢是一致的。

5  結(jié)論
        （1）測量算法的推導(dǎo)是基于同步發(fā)電機派克方程的，考慮了轉(zhuǎn)子上d 軸含勵磁(f) 繞組和阻尼(D) 繞組，以及q 軸兩個阻尼(Q、K) 繞組；因此，方法適用于汽輪發(fā)電機和水輪發(fā)電機。
        （2）方法利用發(fā)電機端電壓、輸出電流的交流采樣值和部分參數(shù)來實現(xiàn)測量，不包括非電氣傳感器，故易于實現(xiàn)、通用性好、代價低。
        （3）動模試驗結(jié)果表明，在系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)過程后期，新的電氣測量方法與脈沖法實測的結(jié)果吻合得很好，在擾動期間及其后一段時間，兩者結(jié)果的差別稍大，但具有一致的動態(tài)變化趨勢；即：新方法具有令人滿意的測量精度。